0.3 Eşitsizlikler

01/02/2020

0.3 Eşitsizlikler

Pozitif ve Negatif Sayılar

İlk derste çizdiğimiz reel doğruyu hatırlıyor musunuz (buradan bakabilirsiniz)? Eğer bir sayı bu doğruda “0” ın sağına yazılıyorsa eğer bu sayı pozitif, sağına yazılıyorsa eğer bu sayı negatiftir. Bütün sayılar bu doğrunun üzerinde bulunduğu için, bütün sayılar ya pozitif ya negatif ya da 0’dır.

Aşağıda pozitif ve negatif sayıların bazı cebirsel özelliklerini görebilirsiniz. Eğer bu sayfadaki postları Python kullanarak takip ediyorsanız, aşağıdaki maddeleri test etmek için Python’da tanımlanan “m” ve “n” değişkenlerine istediğiniz değerleri atayabilirsiniz.

  • İki pozitif sayının toplamı yine bir pozitif sayıdır
1
2
3
m = 3
n = 2
print("Toplam pozitif" if m + n > 0 else "Toplam negatif")
  • İki negatif sayının toplamı yine bir negatif sayıdır.
1
2
3
m = -3
n = -2
print("Toplam pozitif" if m + n > 0 else "Toplam negatif")
  • Pozitif bir sayının toplamaya göre tersi negatif bir sayıdır.
1
2
3
m = 3
n = -m
print("n positif" if n > 0 else "n negatif")
  • Negatif bir sayının toplamaya göre tersi pozitif bir sayıdır.
1
2
3
m = -3
n = -m
print("n positif" if n > 0 else "n negatif")
  • İki pozitif sayının çarpımı yine bir pozitif sayıdır
1
2
3
m = 56
n = 12
print("Carpim pozitif" if m * n > 0 else "Carpim negatif")
  • İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.
1
2
3
m = -156
n = -132
print("Carpim pozitif" if m * n > 0 else "Carpim negatif")
  • Bir pozitif bir negatif sayının çarpımı negatiftir.
1
2
3
m = 13
n = -26
print("Carpim pozitif" if m * n > 0 else "Carpim negatif")
  • Pozitif bir sayının çarpmaya göre tersi yine bir pozitif sayıdır
1
2
3
m = 3
n = 1/m
print("n positif" if n > 0 else "n negatif")
  • Negatif bir sayının çarpmaya göre tersi yine bir negatif sayıdır
1
2
3
m = 3
n = 1/m
print("n positif" if n > 0 else "n negatif")

Küçüktür ve Büyüktür ifadeleri

$a$ sayısı $b$ sayısından küçüktür ($a < b$ şeklinde yazılır) diyebilmemiz için, reel doğru üzerinde $a$ sayısının $b$ sayısının soluna yazılıyor olması gerekir. Aynı şekilde, eğer $a$ sayısı $b$ sayısından küçükse, o zaman $b-a$ ‘nın pozitif olması gerekmektedir ($b-a > 0$). Aynı şekide, $b$ sayısı pozitiftir diyebilmemiz için $b$ sayısının 0’dan büyük olması ($0 < b$) gerekmektedir.

Dur şimdi bir dakika, ne? $a, \ b$; aklım allak bullak oldu diyorsanız eğer, direk örnek verin derim. Anlamadığınız matematiksel bir ifadeyle her karşılaştığınızda bu ifadedeki terimlerin yerlerine gerçek sayılar koyarak kendi kendinize örnek yaparsanız eğer bu ifadeyi daha rahat anlayabilirsiniz.

1
2
3
a = 3
b = 5
print("a b'den küçük" if a &lt; b else "b a'dan küçük")

Mesela yukarıdaki ifadeyi anlamak için $a=3$ olsun. Herhangi bir $b$ sayısının $a$ ‘dan büyük olması için, reel doğrudan $a$ ‘nın sağında bir değer seçmemiz gerekiyor. O zaman $b=5$ diyebiliriz mesela. Burdan yola çıkarsak $b-a=5-3=2$ ‘nin pozitif olduğunu görürüz.

Bir sayının diğer bir sayıdan küçük veya eşit olduğunu göstermek için $\leq$, büyük veya eşit olduğunu göstermek için $\geq$ sembollerini kullanıyoruz.$a \leq b$ demektirki: $a$ sayısı $b$ sayısından ya daha küçük bir sayıdır yada $b$ sayısına tamamen eşittir. Aynı şekilde $a \geq b$ demektirki: $a$ sayısı $b$ sayısından ya daha büyüktür yada $b$ sayısına tamamen eşittir.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a = 4
b = 4
c = 3
d = 5

print(a &lt; b)
print(a > b)
print(a &lt;= b)
print(a >= b)
print(c &lt; a)

# Bu şekilde başka varyasyonlarla da oynayabilirsiniz

Geçişlilik

$$ Eğer \ \ a < b \ \ ve \ \ b < c \ \ ise, \ o \ zaman \ \ a < c \ dir.$$

Bu ifadenin neden doğru olduğunu görmek için reel doğruya bir daha bakalım.

a < b < c doğrusu

Geçişlilik: $a<b$ ve $b<c$ ise $a<c$ 'dir

$a$ ‘nın $b$ ‘den küçük olabilmesi için $b$ ‘nin sol tarafına yazılmış olması gerekmektedir. Aynı şey $b$ ve $c$ için de geçerlidir. $a < b$ ve $b < c$ ifadeleri genellikle birleştirilip beraber tek bir ifadede yazılırlar: $a < b < c$.

Eşitsizliklerde toplama

$$a < b \ \ ve \ \ c < d \ \ ise, \ \ o \ \ zaman \ \ a+c < b+d \ 'dir$$

Bunun neden doğru olduğunu göstermek için daha önceden öğrendiğimiz bilgilere göz atabiliriz. Eğer $a < b$ ve $c < d$ ise, o zaman $b-a$ ve $d-c$ sayılarının pozitif olması gerekiyor. İki tane pozitif sayının toplamı yine bir pozitif sayı verdiği için $(b-a) + (d-c)$ ‘nin de pozitif olması gerekiyor. Bu ifadeyi yeniden düzenleyerek $(b+d) - (a+c)$ şeklindede yazabiliriz. Aynı şekilde bu ifadeninde pozitif olması gerekiyor. Son olarak elde ettiğimiz ifade demek oluyorki: $a+c < b+d$.

Eşitsizliklerde çarpma

Eğer $a < b$ ise, o zaman;

$c > 0$ ise $ac < bc$

$c < 0$ ise $ac > bc$

Bunun neden doğru olduğunu aynı bir önceki örnekte yaptığımız gibi adım adım giderek gösterebiliriz. Ancak bu sefer (ve bundan sonra gösterilecek örneklerde) bu adımları yapmayı size bırakıyorum (aynı şekilde a, b ve c değişkenlerine örnek sayılar vererekte bunu yapabilirsiniz.

Eşitsizlerin toplamaya göre tersi

Eğer   $a < b$   ise, o zaman   $-a > -b$

Üstteki açıklamada $a$ ve $b$ sayılarının $-1$ ile çarpıldığını düşürseniz eğer, aslında bu açıklamanın bir önceki açıklamayla benzer olduğunu görebilirsiniz.

Eşitsizliklerin çarpmaya göre tersi

Eğer   $a<b$   ise, o zaman;

Eğer   $a$   ile   $b$  'nin ikiside pozitif yada ikiside negatifse   $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

Eğer   $a<0<b$   ise   $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

Eğer bu ifadelerden herhangi biri aklınıza yatmadıysa, lütfen biraz zaman ayırarak bu ifadelerdeki değiştenlere örnek olarak rasgele sayılar vererek bu ifadelerin doğruluğunu test edin.

Aralık

Şimdi basit gibi görünen, ancak tanımının iyi bir şekilde anlaşılmasının oldukça önemli olduğu bir konuya geldik: Aralık. Aralığın tanımını vermeden önce “Küme” nedir onu bi öğrenelim.

Küme

Nesneler topluluğuna ve yığınına küme denir

Kümelere negatif sayılar topluluğu, pozitif tek sayılar, negatif çift sayılar gibi örnekler verilebilir. Konumuz matematik olduğu için kümenin tanımındaki “nesne” ifadesindeki belirsizliği kaldırıp, bunun yerine reel sayıları koyabiliriz. Vikipedi tanımına göre: Nesne, belirli bir kütlesi ve hacmi olan her türlü cansız varlıktır. Bu tanıma göre araba, bilgisayar, kalem de nesnelere birer örnektir. Ancak şu anda bu nesneler bizim ilgimizi çekmiyor. Belirli bir kütlesi ve hacmi olmamasına rağmen biz bu tanımdaki nesne ifadesinin reel sayıları ifade ettiğini varsayacağız.

Eğer bir küme sınırlı sayıda nesneler içeriyorsa, bu küme içinde barındırdığı nesleler süslü parantez içine yazılarak gösterilebilir. Mesela, elimizde 3, 4 ve 9 sayılarından oluşan bir küme varsa, bu kümeyi aşağıdaki gibi gösterebiliriz:

Python kullanarak dersi takip edenler için, Python’da da küme oluşturabilirsiniz:

1
benim_kumem = {3, 4, 9}

Ancak elimizde sınırsız sayıda nesneden oluşan bir küme varsa, bunu biraz daha değişik bir biçimde gösteriyoruz. Mesela, 2’den büyük reel sayılardan oluşan bir küme aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Bu ifade: reel sayı kümesi x öyledir ki, 2’den büyük sayılardan oluşur, şeklinde okunur. Burada x harfinin herhangi bir önemi yoktur. Sadece bu ifadeyi olabildiğince kısa ve anlaşılır biçimde yazabilmek için kullanılmıştır.  {$3, 4, 5, \dots, \infty$}   yazmaktansa, kısaca   {$x:x>2$}   şeklinde yazıyoruz. Ancak dediğim gibi burada x harfinin herhangi bir önemi yoktur. Bunun yerine,   {$t:t>2$}   yada   {$z:z>2$}  ‘da yazabilirdik.

Matematikte çok yoğun bir şekilde kullanılan özel bir tip küme vardırki, bu kendine özel bir isim almıştır.

Aralık

Aralık herhangi ili sayının arasındaki bütün reel sayılardan oluşan bir kümedir.

Aralığa bir örnek vermek gerekirse, negatif sayılar bir aralıktır. Çünkü negatif iki sayının arasındaki her sayı yine bir negatif sayıdır. Aralığın dahada pekişmesi için şimdide aralık olmayan bazı örnekler görelim. Mesela tam sayılar kümesi bir aralık değildir. Çünkü, 4 ve 5 bu kümenin içinde olmasına rağmen   $\frac{9}{2}$   (yani 4 ile 5 in arasında olan 4.5 sayısı) bu kümenin içinde değildir. Diğer bir örnekse rasyonel sayılar kümesidir. Bu kümede bir aralık değildir. Çünkü 1 ile 2 bu kümenin içinde olmasına rağmen   $\sqrt{2}$   bu kümenin içinde değildir.

Aralıklar matematikte çok kullanışlı olduğu için bunlara özel bir yazım şekli belirlenmiştir. Aşağıdaki ifadelerde   $a$   ve   $b$   birer reel sayı ve   $a < b$  ‘dir.

Aralık gösteriliş biçimleri

Açık aralık (a, b), a ile b arasındaki sayılar kümesini gösterir. Ancak bu kümeye a ile b dahil değildir:

$$(a, b) = \{x: a<x<b \}$$

Kapalı aralık [a,b], a ile b arasındaki sayılar kümesini gösterir ve bu kümeye a ile b'de dahildir:

$$[a, b] = \{x: a \leq x \leq b \}$$

Yarı açık aralık [a, b), a ile b arasındaki sayılar kümesini gösterir. Bu kümeye a dadahilken b değildir:

$$[a, b) = \{x: a \leq x < b \}$$

Yarı açık aralık (a, b], a ile b arasındaki sayılar kümesini gösterir. Bu kümeye a dahilken b değildir:

$$(a, b] = \{x: a < x \leq b \}$$

Bu ifadelerde parantezler belirtilen sınırların aralığa dahil olmadığını belirtirken, köşeli parantezler sınırların aralığı dahil olduğunu belirtir. Eğer ucu bir aralık belirtmek istersek (yani pozitif yada negatif sonsuza giden), bu ifadeyi aşağıdaki gibi gösterebiliriz:

Ucu açık aralıklar

Aralık   $(a, \infty)$   a'dan büyük sayıların kümesini gösterir:

$$(a, \infty) = \{x: x>a \}$$

Aralık   $[a, \infty)$   a'dan büyük yada a'ya eşit sayıların kümesini gösterir:

$$[a, \infty) = \{ x: x \geq a \}$$

Aralık   $(-\infty, a)$   a'dan küçük sayıların kümesini gösterir:

$$(-\infty, a) = \{x: x < a \}$$

Aralık   $(-\infty, a]$   a'dan küçük yada a'ya eşit sayıların kümesini gösterir:

$$(-\infty, a] = \{x: x \leq a \}$$

Buradaki   $\infty$   işaretine “sonsuz” işareti denir. Bu işaret sadece yazım kolaylığı olması için kullanılmaktadır ve bu işaret herhangi bir reel sayıya eşit değildir.   $(2, \infty)$   ikiden büyük reel sayıları göstermektedir ve   {$x: x>2$}   ifadesinden daha kolay yazılır.

Sonsuz sembolünü içeren hiçbir aralıkta sonsuz işaretinin olduğu sınırda köşeli parantez göremezsiniz. Böyle bir ifade yanlış olurdu çünkü köşeli parantez bulunduğu taraftaki sınırın aralığa dahil olduğunu belirtir ancak   $\infty$   herhangi bir sayıyı ifade etmemektedir.

İleriki derslerde aralıkların “birleşimi”ni oldukça sık bir şekilde kullanacağız. Bu sebepten dolayı hazır buradayken birleşimin de tanımını yapalım.

Birleşim

A ve B kümelerinin birleşimi   $A \cup B$   şeklinde gösterilir ve A yada B kümelerinden en az birinde bulunan nesnelerin kümesidir

Yani   $A \cup B$   genellikle A’da B’de yada hem A’da hem de B’de bulunan nesnelerden oluşur. Bunu bir örnekle gösterelim:

Örnek

  $(2, 6) \cup (4, 8]$   ifadesini aralık şeklinde yazınız.

Çözüm

Doğru üzerinde union örneği

üstte   $(2, 6)$  , altta   $(3, 8]$  

Yukarıdaki figürden de yardım alırsak eğer,   $(2, 8]$   aralığındaki sayıların hepsinin ya   $(2, 6)$   aralığında ya   $(3, 8]$   aralığında yada her iki aralıkta birden bulunduğunu görürüz. Yani;

Bu örneği Python’da da yapıp cevabı kontrol edebilirsiniz:

1
2
3
4
kume1 = {3, 4, 5}
kume2 = {4, 5, 6, 7, 8}
# Burada union kelimesi "birlesim" anlamina geliyor
print(kume1.union(kume2)) 

Örnek

0’a eşit olmayan reel sayıları iki aralığın birleşimi biçiminde yazınız.

Çözüm

Mutlak değer

Mutlak değer bir sayının 0’dan olan uzaklığını gösteren bir değerdir. Burada her bir sayıyı daha önceden de kullandığımız reel sayı doğrusu üzerinde birer nokta olarak düşünebilirsiniz. Bu şekilde düşünürseniz eğer, mesela, 4 sayısının 0’dan olan uzaklığının 4 (birim) olduğunu görürsünüz. Aynı şekilde -4 sayısının 0’dan uzaklığıda 4 (birim)’dir. Burada herhangi bir sayının 0’ın sağında veya solunda olması farketmez, biz her zaman için 0’a olan uzaklığının kaç olduğuna bakıyoruz, ve uzaklık negatif bir sayı olamaz. Siz Ankara’dan İzmir’e 700km gittikten sonra İzmir’den Ankara’ya -700km var demezsiniz. Mesafe yine 700km’dir, ancak yön farklıdır.

Bir   $a$   sayısı alırsak eğer, bu sayının mutlak değeri   $|a|$   şeklinde gösterilir. Bu sebepten dolayı   $|\frac{5}{3}|=\frac{5}{3}$   ve   $|-\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}$  . Mutlak değerin resmi tanımını verirsek eğer:

Mutlak değer

Herhangi bir a sayısının mutlak değeri   $|a|$   şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

\[ |b| = \begin{cases} b & \text{eğer } b \geq 0 \\ -b & \text{eğer } b < 0 \end{cases} \]

Bu kurala göre yukarıdaki örneği tekrar yapacak olursak:   $-\frac{5}{3}<0$   bu sebepten dolayı,   $|-\frac{5}{3}|=-(-\frac{5}{3})=\frac{5}{3}$  

Mutlak değer kavramı aslında oldukça kolay — eğer bir numara negatifse, eksiyi at gitsin. Ancak lütfen unutmayınki bu kural sadece numaralara uygulanabilir. Eğer bize   $|-(a+b)|$   gibi bir ifade verilirse, direk eksiden kurtulup bunu   $a+b$   şeklinde yazamayız.   $a$   ile   $b$  ‘nin değerlerini bilmediğimiz için, bu ifadenin sonucunun pozitifmi negatifmi olduğunu da bilmiyoruz. Eğer   $a+b \geq 0$   o zaman bu ifadeyi   $a+b$   şeklinde basitleştirebiliriz. Ancak   $a+b < 0$   ise   $|-(a+b)| = -(a+b)$  ‘dir ve “-“ işaretini bu ifadeden atmak yanlış olacaktır. Kafanız karıştıysa eğer bu örneğin gerçek sayılar kullanarak çözümüne bir göz atın:

Diyelimki   $a+b=3$  . O zaman   $|-(a+b)| = |-3| = 3$  , yani sonuç   $a+b$  ‘ye eşit. Ancak   $a+b=-3$   olsaydı eğer,   $|-(a+b)| = |-(-3)| = 3$  , sonuç değişmedi ancak bu sefer sonuç   $-(a+b)$  ‘ye eşit 🙂

Matematikte semboller oldukça önemli bir yere sahiptir. Gerçek sayılar kullanmaktansa sembollerin tercih edilmesinin sebebi, gerçek sayılarla yazılamayacak komplex matematik formullerinin, sembollerle çok rahat bir şekilde yazılabiliyor olmasıdır. Bu sebepten dolayı matematikte sembollerin kullanımına yavaş yavaş alışsanız iyi olur. Bir sürü sembolden oluşan karmaşık bir matematiksel konsept gördüğünüz zaman unutmayınki her zaman burada belirtilen sembollerin yerine gerçek sayılar koyup bu ifadeyi daha rahat bir şekilde anlayabilirsiniz.

Evet, şimdide biraz daha soyut olan (sadece sembollerden oluşan) bir örnek yapmak istiyorum. Ancak bu örnekten önce, bu örneği daha iyi anlayabilmeniz için gelin bu örneğin soyut olmayan versiyonunu çözelim.

Örnek

  •   $|x| < 5$   ifadesini mutlak değer kullanmadan bir eşitsizlik halinde yazın.
  •   {$x: |x| < 5$}  kümesini bir aralık şeklinde yazın

Çözüm

  • Bir sayının mutlak değerinin 5’den küçük olabilmesi için, bu sayının 0’a olan uzaklığının 5’den küçük olması lazım. Bu koşul ancak ve ancak eğer bu sayı -5 ile 5 arasındaysa gerçekleşebilir. Bu sebepten dolayı yukarıdaki ifade aşağıdaki gibi yazılabilir:
  • İlk maddeyi çözdükten sonra zannediyorumki bu maddeyi kolayca çözmüşsünüzdür.

Eveeet, şimdi şu korkunç, sadece sembollerden oluşam soruya gelirsek eğer 🙂

Örnek

  $a$  ‘nin bir reel sayı ve   $l > 0$   olduğunu varsayarsak eğer,

  •   $|x-a| < l$   ifadesini mutlak değer kullanmadan bir eşitsizlik halinde yazın.
  •   {$x: |x-a| < l$}   setini bir aralık şeklinde yazın.

Çözüm

  • Bu örnek sizi hiç korkutmasın. Bu örnek aslında yukardaki örneğin aynısı. Sadece burada numaralar yerine semboller kullılmış. Bir sayının mutlak değerinin   $l$  ‘den küçük olabilmesi için, bu sayının   $-l$   ile   $l$   arasında olması gerekmektedir. O zaman:

Üstteki ifadenin herbir kısmına   $a$   eklersek eğer, bu ifadeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz (aynı sayıyı herbir kısma eklediğimiz için eşitsizlik bozulmaz):

  • Aynı üstteki örnekte olduğu gibi ilk maddeyi çözdükten sonra ikinci madde oldukça kolaylaşıyor:

Bu dersle bu bölümü bitirmiş olduk. Bu bölümün “0” bölüm olmasının nedeni, aslında burada gösterilen konuların tekrar amaçlı olmasındandır. Bir sonraki bölümde bu bölümde gösterilen konuları yoğun bir biçimde kullanacağız. Artık fonksiyonları görmeye hazırız 🙂 Matematikte fonksiyonlar herşeydir. Bu konunun neden bu kadar önemli olduğunu ileriki derslerde derin derin konuşacağız 🙂

Please leave a comment below if you have any feedback, criticism, or something that you would like to discuss. I can also be reached on social media: @kivanc_yuksel
Tags: kalkülüs öncesi, matematik, python